抛物线y^2=2px有ㄧ内接直角三角形,直角的顶点在原点,抛物线Y^2=2pX(p＞0)有一个内接直角三角形,直角顶点是

抛物线y^2=2px有ㄧ内接直角三角形,直角的顶点在原点,抛物线Y^2=2pX(p＞0)有一个内接直角三角形,直角顶点是
一条边所在直线方程为Y=2X,斜边长为5根号13.求此抛物线方程.

抛物线y^2=2px（p＞0）有一个内接直角三角形,直角顶点是原点,一条边所在直线方程为y＝2x,斜边长为5√13.求此抛物线方程.
∵设抛物线的内接三角形是△OAB,且A在直线y＝2x上,则B一定在直线y＝－x/2上.
联立：y＝2x、y^2＝2px,消去y,得：4x^2＝2px,∴x＝0,或x＝p/2.
显然,点A的横坐标是p/2,∴点A的纵坐标是p.
再联立：y＝－x/2、y^2＝2px,消去y,得：x^2/4＝2px,∴x＝0,或x＝8p.
显然,点B的横坐标是8p,∴点B的纵坐标是16p.
依题意,有：｜AB｜＝5√13,∴√［（p/2－8p）^2＋（p－16p）^2］＝5√13,
∴√［（15/2）^2＋15^2］p＝5√13,∴（15/2）√（1＋4）p＝5√13,∴p＝2√65/15.
∴满足条件的抛物线方程是y＝（4√65/15）x.
再问： B一定在直线y＝－x/2上 为甚麼
再答： ∵△OAB是Rt△，且点O是直角顶点，∴AO⊥BO， ∴AO的斜率与BO的斜率互为负倒数，而AO的斜率为2，∴BO的斜率为－1/2。 又BO过点O（0，0），∴BO的方程是y－0＝－（1/2）（x－0）， ∴点B在y＝－x/2。

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