用换元法计算定积分∫【0到1】(x+2)/{[(x^2)+4x+1]^2 }dx

用换元法计算定积分∫【0到1】(x+2)/{[(x^2)+4x+1]^2 }dx

∫[0→1] (x + 2)/(x² + 4x + 1)² dx= ∫[0→1] (x + 2)/[(x + 2)² - 3]² dx令x + 2 = √3secy、dx = √3secytany dyx = 0 → y = arcsec(2/√3)x = 1 → y = arcsec(3/√3) = arcsec(√3)原式 = ∫ (√3secy)/(3sec²y - 3)² * [√3secytany dy]= ∫ (√3secy)/(9tan⁴y) * [√3secytany] dy= (1/3)∫ sec²y/tan³y dy= (1/3)∫ csc²ycoty dy= (1/3)∫ cscy * [cscycosy dy]= (- 1/3)∫ cscy d(cscy)= (- 1/6)csc²y= (- 1/6)(1 + cot²y)= (- 1/6)(1 + 1/tan²y)= (- 1/6)[1 + 1/(sec²y - 1)],上限arcsec(√3)、下限arcsec(2/√3)、分别代入= (- 1/6){1 + 1/[(√3)² - 1]} + (1/6){1 + 1/[(2/√3)² - 1]}= 5/12

这个问题我还想问问老师呢

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