矩阵A列向量线性无关，其延伸组比线性无关为什么？延伸组是指列向量个数增加，类似于增广矩阵
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解决时间 2021-11-29 04:55
- 提问者网友：鼻尖触碰
- 2021-11-28 06:39
矩阵A列向量线性无关，其延伸组比线性无关为什么？延伸组是指列向量个数增加，类似于增广矩阵
最佳答案
- 五星知识达人网友：摆渡翁
- 2021-11-28 07:38
可能你理解有问题
若增加列向量的个数, 列向量组会线性相关. 比如增加一个全0的列.
这里, 延伸组应该指增加行数, 即列向量组增加分量.
是这样吧追问0向量很特殊，我所说的是非0向量，我看李永乐的线性代数辅导讲义上跟你说的是一个意思，但是到具题题目的时候就变成增加向量的个数了，所以感到很困惑的说。为什么增加行数也会线性无关呢？这个问题我也不太明白，望指点一二，不甚感激！！追答增加非零列向量是一回事, 比如增加第1列的向量, 或A的列向量组的一个线性组合, 都线性相关.
"但是到具题题目的时候就变成增加向量的个数了"
--不知道你遇到什么具体问题
增加行向量后, 列向量组必仍线性无关.
设A增加若干行向量后矩阵为B.
A的列向量组线性无关 <=> AX=0 只有零解.
BX=0 比 AX=0 多了若干个方程, 即对未知量增加了约束条件!
所以 BX=0 也只有零解
所以 B 的列向量组线性无关.追问题目是这样的：线性方程组Ax=b的系数矩阵是4*5矩阵，且A的行向量组线性无关，则对于任意b，方程组Ax=b必有无穷多解。
答案解析是说A的行向量组线性无关，那么其延伸组必线性无关，所以从行向量来看R(A)=R(A,b)=4《5，即Ax=b必有无穷多解追答没错! 这里说的是行向量组线性无关, 其延伸组即增加列向量
而你提的问题是列向量组线性无关, 它的延伸组是增加行向量来自：求助得到的回答
若增加列向量的个数, 列向量组会线性相关. 比如增加一个全0的列.
这里, 延伸组应该指增加行数, 即列向量组增加分量.
是这样吧追问0向量很特殊，我所说的是非0向量，我看李永乐的线性代数辅导讲义上跟你说的是一个意思，但是到具题题目的时候就变成增加向量的个数了，所以感到很困惑的说。为什么增加行数也会线性无关呢？这个问题我也不太明白，望指点一二，不甚感激！！追答增加非零列向量是一回事, 比如增加第1列的向量, 或A的列向量组的一个线性组合, 都线性相关.
"但是到具题题目的时候就变成增加向量的个数了"
--不知道你遇到什么具体问题
增加行向量后, 列向量组必仍线性无关.
设A增加若干行向量后矩阵为B.
A的列向量组线性无关 <=> AX=0 只有零解.
BX=0 比 AX=0 多了若干个方程, 即对未知量增加了约束条件!
所以 BX=0 也只有零解
所以 B 的列向量组线性无关.追问题目是这样的：线性方程组Ax=b的系数矩阵是4*5矩阵，且A的行向量组线性无关，则对于任意b，方程组Ax=b必有无穷多解。
答案解析是说A的行向量组线性无关，那么其延伸组必线性无关，所以从行向量来看R(A)=R(A,b)=4《5，即Ax=b必有无穷多解追答没错! 这里说的是行向量组线性无关, 其延伸组即增加列向量
而你提的问题是列向量组线性无关, 它的延伸组是增加行向量来自：求助得到的回答
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