数列{an}满足a1=1，an+1=2n+1anan+2n（n∈N+）（1）证明：数列{2nan}是等差数列； &nbs...

数列{an}满足a1=1，an+1=
2n+1an
an+2n （n∈N+）
（1）证明：数列{
2n
an }是等差数列；           
（2）求数列{an}的通项公式an；
（3）设bn=（2n-1）（n+1）an，求数列{bn}的前n项和Sn．

（1）取倒数得：
1
an+1 ＝
1
2n+1 +
1
2an ，两边同乘以2n+1得：
2n+1
an+1 ＝1+
2n
an ，
所以数列{
2n
an }是以
21
a1 ＝2为首项，以1为公差的等差数列．
（2）∵{
2n
an }是以
21
a1 ＝2为首项，以1为公差的等差数列．，
∴
2n
an ＝
2
1 +(n?1)×1，
即an＝
2n
n+1 ．
（3）由题意知：bn＝(2n?1)?2n则前n项和为：Sn＝1×2+3×22+5×23+…+(2n?1)×2n，
2Sn=1×22+3×23+5×24+…（2n-1）×2n+1，
由错位相减得：?Sn＝2+2(22+23+…+2n)?(2n?1)×2n+1，
∴Sn＝(2n?3)×2n+1+6．

（1）由已知有： an+1 2n+1 ＝ an 2n +1(n∈n*)， 即：bn+1-bn=1（n∈n*） ∴数列{bn}为等差数列，其首项为1，公差为1        （2）由（1）知：bn=1+（n-1）×1=n（n∈n*） 即： an 2n ＝n(n∈n*)∴an=n2n（n∈n*） ∴sn=1×21+2×22+3×23+…+n2n 2sn=1×22+2×23+…+（n-1）×2n+n2n+1 两式相减，得： ?sn＝21+22+23+…+2n?n2n+1＝ 2(1?2n) 1?2 ?n2n+1＝2n+1?2?n2n+1 ∴an=n2nsn=（n-1）2n+1+2

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