已知椭圆x^2/4+y^2/3=1，试确定m的取值范围，使得对于直线y=4x+m椭圆上总有不同的两点关于该直线对称15

已知椭圆x^2/4+y^2/3=1，试确定m的取值范围，使得对于直线y=4x+m椭圆上总有不同的两点关于该直线对称

解析：设AB 关于直线y=4x+m对称
AB方程为：y=-1/4*x+b
代入y=4x+m 解得交点坐标（4/17*（b-m),1/17*(16b+m))
把AB 方程代入x^2/4+y^2/3=1
得到13/4*x^2-2bx+4b^2-12=0
△>0=>b^2<13/4
X1+X2=8b/13=8(b-m)/17
b^2=（13m/4）^2<13/4
得到m>2√13/13 或m<-2√13/13

二楼答案正确，一楼错了。 设椭圆上两点A(x1,y1)、B(x2,y2) 关于直线y=4x+m对称， AB中点为M(x0,y0)。则 3x1^2+4y1^2=12 3x2^2+4y2^2=12 相减得到：3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0 由于M是AB的中点，所以x1+x2=2x0,y1+y2=2y0 既6x0(x1-x2)+8y0(y1-y2)=0 则k=y1-y2/x1-x2=-3x0/4y0=-1/4. y0=3x0.代入直线方程y=4x+m 得x0=-m,y0=-3m 因为(x0,y0)在椭圆内部。则3m^2+4(-3m)^2<12 解得 -2√13/13<m<2√13/13

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