角平分线性质

请问，如何证明三角形的角平分线 把对边分成两线段之比等于该角两边之比？

已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB／AC=MB／MC 已知和证明1图 证明：方法1：（面积法） 三角形ABM面积S=(1/2)*AB*AM*sin∠BAM, 三角形ACM面积S=(1/2)*AC*AM*sin∠CAM, 所以三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=AB:AC 又三角形ABM和三角形ACM是等高三角形，面积的比等于底的比， 证明2图即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM 所以AB／AC=MB／MC 方法2（相似形） 过C作CN平行于AB交AM的延长线于N 三角形ABM相似三角形NCM, AB/NC=BM/CM, 又可证明∠CAN=∠ANC 所以AC=CN， 所以AB／AC=MB／MC 证明3图方法3（相似形） 过M作MN平行于AB交AC于N 三角形ABC相似三角形NMC, AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC 又可证明∠CAM=∠AMN 所以AN=MN， 所以AB/AC=AN/NC 所以AB／AC=MB／MC 方法4（正弦定理） 作三角形的外接圆，AM交圆于D， 由正弦定理，得， 证明4图AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM, AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM 又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180 sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC, 所以AB／AC=MB／MC

思路：作平行线，运用平行得出比例式。又平行线出线等腰△，线段转化。已知BD是△ABC的∠B的平分线，过C作BD平行线交AB延长线于E，则∠ABD=∠E,∠DBC=∠BCE,BD是△ABC的∠B的平分线，则∠ABD=∠DBC,∴BC=BE，由BD∥EC得AB:BE=AD:DC,∴AB:BC=AD:DC. 作平行线的方法太多啦，你可以再用此思路作三、五种试试！

角的平分线上的点到角的两边的距离相等 　　判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上 　　注：外角平分线上的点到角两边的反向延长线的距离相等

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