任意三角形 2倍的b边等于a边加c边长度的和 求B角的取值

任意三角形 2倍的b边等于a边加c边长度的和 求B角的取值

解：2b=a+c

故：(2b) ²=(a+c) ²

故：4b²=a²+c²+2ac≥4ac，且a²+c²=4b²-2ac

故：b²≥ac

又：cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=（4b²-2ac-b²）/(2ac)

=（3b²-2ac）/(2ac) ≥（3 ac -2ac）/(2ac)=1/2

故：0°＜B≤60°

2b=a+c>=2√ac, ∴b>=√ac, b²>=ac, b²/ac>=1

余弦定理: cosB=(a²+c²-b²)/2ac=[(a²+c²+2ac)-b²-2ac]/2ac=[(a+c)²-b²-2ac]/2ac=[(2b)²-b²-2ac]/2ac

    =(3b²-2ac)/2ac=3b²/2ac-2ac/2ac=(3/2)b²/ac-1

∵b²/ac>=1,  ∴cosB>=(3/2)×1-1=1/2, 即cosB>=1/2

∵y=cosx在(0,π)上单调减, 且cosπ/3=1/2

∴0<B<=π/3, 即B的取值范围为(0,π/3]

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