已知正数a、b、c满足5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc，求b/a的取值范围

已知正数a、b、c满足5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc，求b/a的取值范围

解：
【1】
因为a, b, c均为正数，条件不等式的各边均除以c,
可得：5-3(a/c)≤b/c≤4-(a/c)
令：x=a/c, y=b/c. 上面不等式可化为：
5-3x≤y≤4-x.
即：5-3x≤y ，且 4-x≥y.
这个不等式组确定的规划域，就是直线5-3x≤y以下，
直线4-x≥y以上的部分，y轴的右边。
其实，就是以A(0,5), B(0,4), C(1/2, 7/2)三点为顶点的三角形
不包括AB边。

clnb≥a+clnc.===>c(lnb-lnc)≥a.===>ln(b/c)≥a/c
===>lny≥x. ===>y≥e^x.
易知，由这个不等式确定的规划域，就是曲线y=e^x的上部，
数形结合可知，这个规划域包括上面的规划域。
∴由上面不等式确定的规划域，就是以
A(0, 5), B(0,4), C(1/2, 7/2)为顶点的三角形，（不包括AB边）

【2】
显然，b/a=(b/c)/(a/c)=y/x.

y/x的意义，就是过原点O(0,0)与规划域内的点P( x,y)的直线的斜率k。
数形结合可知：k≥7.
∴y/x∈[7, +∝)
即：b/a∈[7, +∞)

∵4c-a≥b＞0 ∴ c a ＞ 1 4 ， ∵5c-3a≤4c-a， ∴ c a ≤2． 从而 b a ≤2×4-1=7，特别当 b a =7时，第二个不等式成立．等号成立当且仅当a：b：c=1：7：2． 又clnb≥a+clnc， ∴0＜a≤cln b c ， 从而 b a ≥ b c ln b c ，设函数f（x）= x lnx （x＞1）， ∵f′（x）= lnx?1 (lnx)2 ，当0＜x＜e时，f′（x）＜0，当x＞e时，f′（x）＞0，当x=e时，f′（x）=0， ∴当x=e时，f（x）取到极小值，也是最小值． ∴f（x）min=f（e）= e lne =e． 等号当且仅当 b c =e， b a =e成立．代入第一个不等式知：2≤ b a =e≤3，不等式成立，从而e可以取得．等号成立当且仅当a：b：c=1：e：1． 从而 b a 的取值范围是[e，7]双闭区间．

；5c-3a<=4c-a，c/a<=2 从而 b/a<=2*4-1=7,特别当b/a=7时，从而b/a的取值范围是[e,7)左闭右开。 当然本题或许可以从几何的角度，,

首先，4c-a>=b>=0，c/a>=1/4 ；5c-3a<=4c-a，c/a<=2 从而 b/a<=2*4-1=7,特别当b/a=7时，第二个不等式成立。等号成立当且仅当a:b:c = 1:7:2. 又c ln b≥a+c ln c 知道0=(b/c)/ln(b/c),设函数f(x)=x/ln(x).(x>1)由导数知识知道函数的最小值为e，从而b/a>=e, 等号当且仅当b/c=e,b/a=e成立。代入第一个不等式知：2<=b/a=e<=3，不等式成立,从而e可以取得。等号成立当且仅当a:b:c = 1:e:1. 从而b/a的取值范围是[e,7]双闭区间

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