如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交X轴于AB两点

开口向下的抛物线经过点AB，且其顶点P在圆C上。

1。∠ACB的大小；

2.写出AB两点的坐标

3.试确定此抛物线的解析式

4.在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由。

 假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形
∴PC‖OD且PC=OD．
∵PC‖y轴，
∴点D在y轴上．
又∵PC=2，
∴OD=2，即D（0，2）．
又D（0，2）满足y=-x2+2x+2，
∴点D在抛物线上
所以存在D（0，2）使线段OP与CD互相平分．

1.作CH垂直于x轴于H，根据题意CH=1，AC=2，显然ACH为角ACH=60°的直角三角形，同理BCH=60°，故ACB=120. 2.如1问中解答的，HA=HB=根号3，故可得A（1- 3^(1/2), 0); B(1+3^(1/2), 0) 3.依题意，设ax^2+bx+c=0 由对称轴为x=1得-b/2a=1,得b=-2a， 再另y=0，代入求根公式可得c=-2a， 即y=ax^2-2ax-2a 再代入顶点P（1,3）得a=-1，即得y=-x^(2)+2x+2 4.依题意，设OP与满足两条线段相互平分的CD‘交于I。如果D'在抛物线上则D’即为所求D点，若不在抛物线上，则不存在符合题意的D点。 要满足相互平分，则I点位OP中点，依照P的坐标可求得I（1/2,3/2）。 同时I又为CD‘中点，依C、I的坐标求得D’（0,2）。 把x=0代入抛物线方程发现y正好等于2，说明D‘即为所求的D点

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