高中数列求通项公式的问题an+1=2an+3n+4^n

高中数列求通项公式的问题an+1=2an+3n+4^n

a(n+1)=2an +3n +4ⁿ
a(n+1)+3(n+2)-4^(n+1)/2=2an +6(n+1)-4ⁿ 就是这一步找出对应关系最难。
a(n+1)+3(n+2)-4^(n+1)/2=2[an+3(n+1)-4ⁿ/2]

题目没有给出a1，如果a1+3×(1+1)-4/2=0，即a1=-4，那么
数列{an +3(n+1) -4ⁿ/2}是各项均为0的常数数列。
an=4ⁿ/2 -3n-3=2^(2n-1) -3n-3

如果a1≠-4，那么
数列{an+3(n+1)-4ⁿ/2}是以a1+4为首项，2为公比的等比数列。
an+3(n+1)-4ⁿ/2=(a1+4)×2^(n-1)
an=4ⁿ/2 +(a1+4)×2^(n-1) -3n-3=2^(2n-1) +(a1+4)×2^(n-1) -3n-3

由数列{△2an}中各项均为1，知数列{△an}是首项为△a1，公差为1的等差数列， 所以，an=a1+ n?1 k＝1 △ak＝a1+(n?1)△a1+ 1 2 (n?1)(n?2)． 这说明，an是关于n的二次函数，且二次项系数为 1 2 ， 由a21=a2010=0 得an= 1 2 （n-21）（n-2010） 从而a1=20090． 故答案为：20090．

有了递推关系，但无首项，通项公式是不确定的 假设首项a1已知，本题可用以下方法求得通项： 因a2=2a1+3*1+4^1 (1/2)a3=a2+(1/2)*3*2+(1/2)*4^2 (1/2^2)a4=(1/2)a3+(1/2^2)*3*3+(1/2^2)*4^3 ... [1/2^(n-2)]an=[1/2^(n-3)]a(n-1)+[1/2^(n-2)]*3*(n-1)+[1/2^(n-2)]*4^(n-1) 以上各式相加得 [1/2^(n-2)]an=2a1+3{1/2^0+2/2^1+3/2^2+...+(n-1)/2^(n-2)}+{4^1/2^0+4^2/2^1+4^3/2^2+...+4^(n-1)/2^(n-2)}（*） 令P=1/2^0+2/2^1+3/2^2+...+(n-1)/2^(n-2)（I） 则(1/2)P=1/2^1+2/2^2+3/2^3+...+(n-1)/2^(n-1)（II） 由（I）-（II）得 P-(1/2)P=1/2^0+{1/2^1+1/2^2+1/2^3+...+1/2^(n-2)}-(n-1)/2^(n-1) 易知1/2^1+1/2^2+1/2^3+...+1/2^(n-2)=1-1/2^(n-2) 于是(1/2)P=2-1/2^(n-2)-(n-1)/2^(n-1) 即P=4-(n+1)/2^n 令Q=4^1/2^0+4^2/2^1+4^3/2^2+...+4^(n-1)/2^(n-2) 则Q=2^2/2^0+2^4/2^1+2^6/2^2+...+2^(2n-2)/2^(n-2) =2^2+2^3+2^3+...+2^n 易知Q=2^(n+1)-4 将P、Q代入（*）式得 [1/2^(n-2)]an=2a1+3[4-(n+1)/2^n]+2^(n+1)-4 所以an=2^(2n-1)-3(n+1)/4+2^(n+1)+2^(n-1)a1

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