若p为椭圆x^2/9+y^2/4=1在第一象限上的点，试确定点p的位置，使三角形abp的面积最大，其中ab分别是椭圆的右顶点和上顶点

1若p为椭圆x^2/9+y^2/4=1在第一象限上的点，试确定点p的位置，使三角形abp的面积最大，其中ab分别是椭圆的右顶点和上顶点

2椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上有一点p使得op垂直于pa（o为原点，a为椭圆长轴的一个端点），试求椭圆离心率的取值范围

怎么做

1、按题意使三角形abp的面积最大的P应为与AB平行，且与椭圆相切于P的直线。

AB坐标分别为A（3，0）B(0,2)，AB斜率＝-2/3

设P坐标为（x0,y0),则切线方程为

x0x/9+y0y/4=1

4x0x+9y0y=36

斜率应为-2/3,故－4x0/9y0=-2/3 x0=3y0/2

P在椭圆上应满足椭圆方程：

x0^2/9+y0^2/4=1

把 x0=3y0/2代入上等式化简得：

y0^2=2

y0=√2或－√2（不全题意在第一象限，去掉）

x0=3√2/2

P坐标为（3√2/2，√2）

（2）设P坐标为（x1,y1),不妨设A坐标为（a,0)

由于OP垂直PA，且由于椭圆关于X、Y轴都对称，故P关于X轴、Y轴的点在椭圆上，且也满足与原点的连线和与轴顶点连线垂直，即有P点同样的性质，这样OP与X、Y轴的夹角均为45°

OP的斜率为1或－1

即y1/x1=1或－1

y1^2=x1^2

P满足x1^2/a^2+y1^2/b^2=1

把y1^2=x1^2代入上式化简得：

（a^2+b^2)x^2=a^2b^2

由于PO斜率为1或－1，故P横坐标平方＝a^2/2，纵坐标＝b^2/2，且相等，则a=b

即为圆时才有满足条件的P点，此时离心率为0

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