数学 拉格朗日中值定理

用拉格朗日中值定理证明arctanX«X(X»0)

x＝0时，arctan＝x

x＞0时，设f(t)＝arctant，t∈[0,x]，则f(t)在[0,x]上连续，在(0,x)内可导，由拉格朗日中值定理，至少存在一点ξ∈(0,x)，使得f'(ξ)＝(f(x)-f(0))/x，即1/(1+ξ^2)＝arctanx/x，1/(1+ξ^2)＜1，所以arctanx＜x

所以，x≥0时，arctanx≤x

arctanX-arctan0=1/(1+x²)*x

arctanX=1/(1+X²)*X

因为X>=0

所以1/(1+x²)*x<=x

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