根号（4-x^2）在（-1，1）上的定积分是多少（怎么算的）
答案:3 悬赏:10 手机版
解决时间 2021-01-27 17:44
- 提问者网友：心牵心
- 2021-01-26 19:54
根号（4-x^2）在（-1，1）上的定积分是多少（怎么算的）
最佳答案
- 五星知识达人网友：走死在岁月里
- 2021-01-26 20:29
先求出不定积分：
f(x)=∫√(4-x^2)dx 查看积分表可得到：
=x/2*√(4-x^2)+2arcsinx/2+c
定积分=2[f(1)-f(0)]=2[(1/2)*√(4-1)+2arcsin(1/2)]-0=2(√3/2+2*π/6)=2(π/3+√3/2)=√3+2π/3 ;
至于不定积分∫√(a^2-x^2)dx
=x/a*√(a^2-x^2)+(a^2/2)arcsinx/a+c 的求法步骤如下;
假设：x=asint,则：dx=acostdt,sint=x/a;
∫√(a^2-x^2)dx
=∫√[a^2-(asint)^2*acostdt
=∫√(a^2cos^2t)*acostdt
=∫a^2cos^2tdt
=(a^2/2)∫(cos2t+1)dt
=(a^2/2)t+(a^2/4)∫cos2td2t
=(a^2/2)t+(a^2/4)sin2t+c;
sint=x/a,则：cost=√(a^2-x^2)/a;可得到：
t=arcsin(x/a),
sin2t=2sint*cot=2*x/a*√(a^2-x^2)/a=2x√(a^2-x^2)/a^2;
代入上式可得到：
∫√(a^2-x^2)dx
=(a^2/2)*arcsin(x/a)+(a^2/4)*2x√(a^2-x^2)/a^2+c;
=(a^2/2)*arcsin(x/a)+(x/2)√(a^2-x^2)/a^2+c;
=x/a*√(a^2-x^2)+(a^2/2)arcsinx/a+c
f(x)=∫√(4-x^2)dx 查看积分表可得到：
=x/2*√(4-x^2)+2arcsinx/2+c
定积分=2[f(1)-f(0)]=2[(1/2)*√(4-1)+2arcsin(1/2)]-0=2(√3/2+2*π/6)=2(π/3+√3/2)=√3+2π/3 ;
至于不定积分∫√(a^2-x^2)dx
=x/a*√(a^2-x^2)+(a^2/2)arcsinx/a+c 的求法步骤如下;
假设：x=asint,则：dx=acostdt,sint=x/a;
∫√(a^2-x^2)dx
=∫√[a^2-(asint)^2*acostdt
=∫√(a^2cos^2t)*acostdt
=∫a^2cos^2tdt
=(a^2/2)∫(cos2t+1)dt
=(a^2/2)t+(a^2/4)∫cos2td2t
=(a^2/2)t+(a^2/4)sin2t+c;
sint=x/a,则：cost=√(a^2-x^2)/a;可得到：
t=arcsin(x/a),
sin2t=2sint*cot=2*x/a*√(a^2-x^2)/a=2x√(a^2-x^2)/a^2;
代入上式可得到：
∫√(a^2-x^2)dx
=(a^2/2)*arcsin(x/a)+(a^2/4)*2x√(a^2-x^2)/a^2+c;
=(a^2/2)*arcsin(x/a)+(x/2)√(a^2-x^2)/a^2+c;
=x/a*√(a^2-x^2)+(a^2/2)arcsinx/a+c
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- 1楼网友：酒醒三更
- 2021-01-26 21:26
sinx乘以根号下(1-x^2)为奇函数
积分区间为对称区间
sinx乘以根号下(1-x^2)在-1,1上的定积分=0
- 2楼网友：旧脸谱
- 2021-01-26 20:47
如果按常规的方法去求,首先求出原函数,再利用NEWTON-LEIBNITZ公式计算.
√(4-x^2）的原函数是-x/2√(4-x^2）+2arcsin(x/2)+C
利用NEWTON-LEIBNITZ公式计算得
-1/2√(4-1^2）+2arcsin(1/2)-1/2√(4-1^2）-2arcsin(-1/2)
=-√3+4π/6=-√3+2π/3
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