已知a、b是正整数，求证：(a＋b,a²－ab＋b²）等于1或等于3。
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解决时间 2021-01-04 00:45
- 提问者网友：战皆罪
- 2021-01-03 09:50
（a＋b,a²－ab＋b²）表示（a＋b）与（a²－ab＋b²）的最大公因数。
最佳答案
- 五星知识达人网友：千夜
- 2021-01-10 05:21
楼主漏掉了a,b互质的条件。
因为(a,b)=1，所以
(a+b,a)=1, (a+b,b)=1
(a+b,ab)=1
而(a+b,a^2-ab+b^2)=(a+b,a^2-ab+b^2-(a+b)^2)
=(a+b,-3ab)
=(a+b, 3)
=1或3.
因为(a,b)=1，所以
(a+b,a)=1, (a+b,b)=1
(a+b,ab)=1
而(a+b,a^2-ab+b^2)=(a+b,a^2-ab+b^2-(a+b)^2)
=(a+b,-3ab)
=(a+b, 3)
=1或3.
全部回答
- 1楼网友：鱼芗
- 2021-01-10 05:27
题目错误或少条件，举反例如下：
a,b为4的倍数时，设a=4m,b=4n
a+b=4(m+n)
a^2-ab+b^2=16m^2-16mn+16n^2=16(m^2-mn+n^2)
有公因数4.
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