A是n阶矩阵，证明：A可逆当且仅当对任意n维向量β,方程组Ax=β有解

A是n阶矩阵，证明：A可逆当且仅当对任意n维向量β,方程组Ax=β有解

首先要有这个概念:
方程组Ax=β有解 当且仅当 β 可由A的列向量组线性表示.
若这个结论没问题, 就可以这样证明充分性

因为对任意n维向量β,方程组Ax=β有解
所以任一n维向量都可由A的列向量组线性表示
特别地, 对n维基本向量 ε1,ε2,...,εn 可由A的列向量组线性表示
而任一n维向量都可由 ε1,ε2,...,εn 线性表示
所以, A的列向量组与 ε1,ε2,...,εn 等价.
所以 r(A) = r(ε1,ε2,...,εn) = n
所以 A 可逆.

Ax=[1,0...0]^T
Ax=[0,1...0]^T
...
Ax=[0,0...1]^T
把解得的X按列排在一起就是A的逆

反证法：A不可逆则A行等价的简化阶梯阵有全零行，B任意的话，AX的增广矩阵可能首元出现在最后一列，则无解，即矛盾，即证原命题成立

分别解出
Ax=[1,0...0]^T
Ax=[0,1...0]^T
...
Ax=[0,0...1]^T
把解得的X按列排在一起就是A的逆

假定A不可逆，则存在可逆矩阵P,Q经过初等变换把 A变换成如下标准型：
Ir, 0
0 0
其中Ir是r维单位阵，则
方程Ax=b可以化解成PAQQ'x=Pb，其中Q'是Q的逆矩阵
既然b是任意矩阵，P是可逆矩阵，我们一定可以选取b使得Pb的最后一个元素为1，其余全为0
而显然此时左侧PAQQ'x 的最后一行等于0*Q'x =0，其中等式矩阵的0是标准型的最后一行行向量
所以方程矛盾
所以A必然可逆

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