当a为无理数时怎么同样证明啊（）】Dirichlet函数那个
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解决时间 2021-01-12 10:48
- 提问者网友：兔牙战士
- 2021-01-11 22:35
当a为无理数时怎么同样证明啊（）】Dirichlet函数那个
最佳答案
- 五星知识达人网友：十鸦
- 2021-01-11 23:22
假设a+b=c,c是有理数,则a=c-b
又由有理数的定义可知b=p/q,c=r/s,其中p/q和r/s都是最简分数,则
c-b=p/q-r/s
=(ps-qr)/qs
p,q,r,s都是整数,所以ps,qr,qs都是整数,所以上式结果为分数(有理数).
这和a是无理数矛盾,所以a+b一定是无理数
同理,设ab=d,且b≠0,则a=d/b
若d是有理数,设d=x/y(最简分数),则d/b=(x/y)/(p/q)=qx/py
p,q,x,y都是整数,所以qx,py是整数,上式结果为分数(有理数)
和a是无理数矛盾,所以ab一定是无理数
又由有理数的定义可知b=p/q,c=r/s,其中p/q和r/s都是最简分数,则
c-b=p/q-r/s
=(ps-qr)/qs
p,q,r,s都是整数,所以ps,qr,qs都是整数,所以上式结果为分数(有理数).
这和a是无理数矛盾,所以a+b一定是无理数
同理,设ab=d,且b≠0,则a=d/b
若d是有理数,设d=x/y(最简分数),则d/b=(x/y)/(p/q)=qx/py
p,q,x,y都是整数,所以qx,py是整数,上式结果为分数(有理数)
和a是无理数矛盾,所以ab一定是无理数
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