设n≠1,证明(n-1)²|（n^k-1）的充要条件是（n-1）|k .
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解决时间 2021-02-01 23:53
- 提问者网友：两耳就是菩提
- 2021-02-01 15:55
设n≠1,证明(n-1)²|（n^k-1）的充要条件是（n-1）|k .
最佳答案
- 五星知识达人网友：底特律间谍
- 2021-02-01 17:13
设n≠1,证明(n-1)²|（n^k-1）的充要条件是（n-1）|k .
证明：
n^k=[(n-1)+1]^k=(n-1)^k+C(k,1)*(n-1)^(k-1)+....+C(k,i)*(n-1)^(k-i)+......+C(k,k-2)*(n-1)^2+C(k,k-1)*(n-1)+1,
n^k-1=(n-1)^k+C(k,1)*(n-1)^(k-1)+....+C(k,i)*(n-1)^(k-i)+......+C(k,k-2)*(n-1)^2+k*(n-1)
因为n≠1，所以n-1≠0，
（n^k-1）/(n-1)²=[(n-1)^k+C(k,1)*(n-1)^(k-1)+....+C(k,i)*(n-1)^(k-i)+......+k*(n-1)]/(n-1)²
=(n-1)^(k--2)+C(k,1)*(n-1)^(k-3)+....+C(k,i)*(n-1)^(k-i-2)+......+C(k,k-2)+k/(n-1)。。。。。（*）,
显然（*）式中，除最后一项外均为整数，所以（*）式为整数必须且只需最后一项k/(n-1)为整数，
所以（n^k-1）/(n-1)²是整数等价于k/(n-1)为整数
即(n-1)²|（n^k-1）的充要条件是（n-1）|k。
证明：
n^k=[(n-1)+1]^k=(n-1)^k+C(k,1)*(n-1)^(k-1)+....+C(k,i)*(n-1)^(k-i)+......+C(k,k-2)*(n-1)^2+C(k,k-1)*(n-1)+1,
n^k-1=(n-1)^k+C(k,1)*(n-1)^(k-1)+....+C(k,i)*(n-1)^(k-i)+......+C(k,k-2)*(n-1)^2+k*(n-1)
因为n≠1，所以n-1≠0，
（n^k-1）/(n-1)²=[(n-1)^k+C(k,1)*(n-1)^(k-1)+....+C(k,i)*(n-1)^(k-i)+......+k*(n-1)]/(n-1)²
=(n-1)^(k--2)+C(k,1)*(n-1)^(k-3)+....+C(k,i)*(n-1)^(k-i-2)+......+C(k,k-2)+k/(n-1)。。。。。（*）,
显然（*）式中，除最后一项外均为整数，所以（*）式为整数必须且只需最后一项k/(n-1)为整数，
所以（n^k-1）/(n-1)²是整数等价于k/(n-1)为整数
即(n-1)²|（n^k-1）的充要条件是（n-1）|k。
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