椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的半焦距为c,若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的半焦距为c,若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，求椭圆的离心率

根据题意，b^2=a^2-1 …… (1)
可设过F（1，0）的直线为y=k(x-1),k为任意实数，直线与椭圆交点为（x1,y1)、（x2,y2)。将直线方程与椭圆方程联立求解可得方程：
（b^2+a^2*k^2)x^2-2a^2*k^2*x+a^2*k^2-a^2*b^2=0
故有：x1*x2=(a^2*k^2-a^2*b^2)/(b^2+a^2*k^2) ……（2）
x1+x2=2a^2*k^2/(b^2+a^2*k^2) ……（3）
y1*y2=k^2*(x1-1)(x2-1)=k^2*x1*x2-k^2(x1+x2)+k^2 ……（4）
又： |OA|^2+|OB|^2<|AB|^2 → x1*x2+y1*y2<0 将上面(1)(2)(3)(4)代入整理后得：k^2>a^2*(1-a^2)/((a^2-1)^2+a^2)
该式对任意k值均应满足，k^2>=0 所以：1-a^2<0
故a的取值范围为 （-∞，-1）∪（1，∞）

椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>c)的半焦距为c,若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c,求椭圆的离心率. 因为线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c,那么，直线与椭圆的交点坐标为(c,2c) 所以，点(c,2c)在椭圆上。 故： (c^2/a^2)+[(2c)^2/b^2]=1………………………………（1） 而，b^2=a^2-c^2……………………………………………（2） 联立(1)(2)得到：a^4-6a^2*c^2+c^4=0 则：(a^2)^2-6c^2*a^2+c^4=0 所以：a^2=[6c^2±√(36c^4-4c^4)]/2=(3±2√2)c^2 因为a>c>0，所以:a^2=(3+2√2)c^2 所以：a=(1+√2)c 那么，e=c/a=c/[(1+√2)c]=√2-1

解:交椭圆的纵坐标为2c,将其代入得c^2/a^2+4*c^2/b^2=1 而c^2/b^2=c^2/(a^2-c^2),令e=c/a 所以有e^2+e^2/(1-e^2)=1 可解得e=根号2 -1 ,另一根不合题意,舍去

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