求所有正整数对(m,n)使得5^m+5^n可以表示成为两个整数的平方和

求所有正整数对(m,n)使得5^m+5^n可以表示成为两个整数的平方和

一、当M、N为偶数时显然满足.如楼上.
二、当M、N同为奇数时满足.
M、N顺序无关,可设M ≤ N ,都为奇数.
当M = 1时,N≥M,N = 2K + 1 (K为自然数0、1、2、……)
1、易知K = 0即N=1时,5^1+5^1 = 10 = 1^2 + 3^2.
2、当K > 0即 N>1的奇数时,5^1+5^(2K+1) 必可表示为 5^K-2、2×5^K+1这两个数的平方和
因：
(5^K-2)^2 + (2×5^K+1)^2
=5^2K - 4×5^K + 4 + 4×5^2K + 4×5^K + 1
=5×5^2K + 5
=5^(2K+1) + 5
当M ≥ 3时,可对M、N分别提出偶数,化为M = 1时的情况.
如：
5^3+5^3 = 5^2(5^1+5^1)
5^5+5^7 = 5^4(5^1+5^3)……
综上所述,当M、N奇偶性相同时,5^M+5^N必可以表示成2个数的平方和.

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