设函数f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,试证在（a,b)

设函数f(x)在[a,b]上连续，在（a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,试证在（a,b)内至少存在一点x,使f'(x)-f(x)=0

构造函数F(x)=[e^(-x)]*f(x)，则F'(x)=[e^(-x)]*[f'(x)-f(x)]。
根据题设条件得F(a)=F(b)=0，故至少存在一点ξ∈(a,b)使得F'(ξ)=0.（罗尔定理）
即在（a,b)内至少存在一点x,使f'(x)-f(x)=0。

构造函数f(x)＝f(x)×e^(g(x))，则f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0，由罗尔中值定理，存在一个ξ∈(a,b)，使f'(ξ)＝0，此即f'(ξ)+f(ξ)g'(ξ)＝0.

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