求一道根与系数的数学题解答题

已知关于x的方程x^2-2mx+3m=0的两个实数根是x1,x2，且[x1-x2]^2=16，如果关于x的另一个方程x^2-2mx+6m-9=0的两个实数根都在x1和x2之间，求m的值

根据韦达定理 X1+X2=2m X1X2=3m (X1-X2)^2=(X1+X2)^2-4X1X2=(2m)^2-4*3m=16 m1=4 m2=-1

当m=4时 带回x^2-2mx+3m=0 即x^2-8m+12=0 x1=2 x2=6 再代入另一个方程x^2-2mx+6m-9=0

x^2-8x+15=0 x1=3 x2=5 3、5在2、6之间 符合题意

同理 可得当m=-1时 不符题意 舍

综上：m=4

x^2-2mx+3m=0与x^2-2mx+6m-9=0仅相差于常数项。

也就是说二次函数y=x^2-2mx+3m与y=x^2-2mx+6m-9的对称轴是相同的。一元二次方程的两个实数根即二次函数的零点，是关于对称轴对称的。

后一方程的两个实数根都在x1和x2之间，那么两根间的距离必小于前一方程x^2-2mx+3m=0的两个实数根x1,x2之间的距离，x1,x2间的距离=|x1-x2|=4，后一个方程两根间的距离为

|x1-x2|=(x1+x2)²-4x1x2=(2m)²-4（6m-9）=4（m²-6m+9）<4, 同时考虑判别式不小于零，于是有

0≤m²-6m+9<1，解得，2<m<4. m的值为满足2<m<4的一切实数。

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