已知x、y都是正实数，x^2-2x+4y^2>0，求xy的最大值

已知x、y都是正实数，x^2-2x+4y^2>0，求xy的最大值

设u=xy

则有x²-2x+4 =0

即u²=f(x)=x³/2-x^4/4

∵4y²=2x-x²＞0

∴函数u(x)的定义域为x∈(0，2).

要使正数u取得最大值，则u²必须取得最大值.

f'(x)=3/2x²-x³

当f'(x)=0时，x=0(舍去)或x=3/2

当x∈(0，3/2)时，f'(x)＞0. 时，x∈(3/2，2)时，f'(x)＜0

∴f(x)在x=3/2时取得极大值u²=1/2×(3/2)³-1/4×(3/2)^4=27/64

即是f(x)的最大值

由上可知，当x=3/2时，(此时y=√3/4)，u=xy取得最大值3√3/8

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