在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为根号2，底面三角形的边长为1，求AC1与侧面ABB1A1所

在正三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为根号2，底面三角形的边长为1，求AC1与侧面ABB1A1所成的角是 ?

取A1B1的中点D，连接C1D、AD
∵侧棱与底面垂直
∴AA1⊥平面A1B1C1
∴AA1⊥C1D
又底面是等边三角形
∴C1D⊥A1B1
∴C1D⊥平面ABB1A1
那么∠DAC1即为AC1与侧面ABB1A1所成的角
AC1=√(1²+(√2)²)=√3
C1D=√3/2
sin∠DAC1=C1D/AC1=1/2
∠DAC1=π/6
∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为π/6

作C1D1垂直于A1B1于D1，所以C1D1垂直于面ABB1A1 连接AD1，角C1AD1就是所求 在三角形C1AD1中，角C1D1A=90度，AC1=根号3，AD1=3/2 cosC1AD1=AD1/AC1=根号3/2 所以角C1AD1=30度

作C1D垂直A1B1于D，则可求出AC1=根号3，C1D=（根号3）/2，而角ADC1又是90度，则角C1AD等于30度，也就是AC1与侧面ABB1A1所成角为30度

：①如图，以点a为坐标原点o，以ab所成直线为oy轴， 以aa1所在直线为oz轴，以经过原点且与平面abb1a1垂直的直线为ox轴，建立空间直角坐标系． 由已知得a（0，0，0），b（0，a，0）， a1(0，0，2a)， c1(-32a，a2，2a)． ②坐标系如上，取a1b1的中点m，于是有 m(0，a2，2a)， 连am，mc1有 mc1→= (-32a，0，0)， 且 ab→=（0，a，0）， aa1→= (0，0，2a)， 由 mc1→?? ab→=0， mc1→?? aa1→=0， 所以，mc1⊥面abb1a1， ∴ac1与am所成的角就是ac1与侧面abb1a1所成的角． ∵ ac1→= (-32a，a2，2a)， am→= (0，a2，2a)， ∴ ac1→?? am→= 0+a24+2a2=94a2， |ac1→|= 3a24+a24+2a2= 3a， |am→|= a24+2a2=32a， ∴ cos＜ac1→，am→＞= 94a23a??32a=32， 所以， ac1→与 am→所成的角，即ac1与侧面abb1a1所成的角为30°．

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