数学分析，用积分推导出球的面积公式，谢谢

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求半径为a的球的表面积
解：取上半球面的方程 z=√(a²-x²-y²).........①，积分区域D为园 x²+y²≤a².
由球面方程①得：
∂z/∂x=-x/√(a²-x²-y²)；∂z/∂y=-y/√(a²-x²-y²).
从而 1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²=a²/(a²-x²-y²)；
球上半部的面积A=(D)∬√[1+(∂z/∂x)²+(∂z/∂y)²]dxdy
=∬[a/√(a²-x²-y²)]dxdy
注意被积函数在D的园周上不连续，因之取D₁: x²+y²≤b²(b 令b→a. 为计算方便，将直角坐标变为极坐标，于是：
∬[adxdy/√(a²-x²-y²)]=a∫[0,2π]dθ∫[0,b]rdr/√(a²-r²)
=2πa∫[0,b]rdr/√(a²-r²)=2πa[a-√(a²-b²)]
b→a时，它的极限是2πa²,而球的面积是这极限值的两倍，即2A=4πa².
这就是我们所要的结果。

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