（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导数f'（x）=1+lnx．
令f'（x）＞0，解得x＞
1
e；
令f'（x）＜0，解得0＜x＜
1
e．
从而f（x）在（0，
1
e）单调递减，在（
1
e，+∞）单调递增．
所以，当x=
1
e时，f（x）取得最小值-
1
e．
（II）若2f（x）≥g（x），则a≤2lnx+x+
3
x，
设h（x）=2lnx+x+
3
x，
则h′（x）=
2
x+1-
3
x2=
x2+2x?3
x2=
(x+3)(x?1)
x2
∵x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，
x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
∴h（x）min=h（1）=4
故a≤4
即实数a的取值范围为（-∞，4]
证明：（III）若lnx＞
1
ex?
2
ex
则lnx?x＞
x
ex?
2
e，
由（I）得：lnx?x≥?
1
e，当且仅当x=
1
e时，取最小值；
设m（x）=
x
ex?
2
e，则m′（x）=
1?x
ex，
∵x∈（0，1）时，m′（x）＞0，h（x）单调递增，
x∈（1，+∞）时，m′（x）＜0，h（x）单调递减，
故当x=1时，h（x）取最大值?
1
e
故对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞
1
ex?
2
ex成立．
试题解析：
（I）先求出函数的定义域，然后求导数，根据导函数的正负判断函数的单调性进而可求出最小值．
（II）若2f（x）≥g（x），则a≤2lnx+x+，构造函数h（x）=2lnx+x+，则a≤hmin（x），进而得到实数a的取值范围；
（Ⅲ）对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞?成立，即lnx?x＞?，结合（1）中结论可知lnx?x≥?，构造新函数m（x）=?，分析其最大值，可得答案．
名师点评：
本题考点： 函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评： 本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，导数在最值问题中的应用，熟练掌握导数法求函数最值的方法步骤是解答的关键．
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