已知函数f(x)=2的x次方+1分之2的x次方-1。（1）求函数的值域。（2）判断并证明函数的单调性

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解决时间 2021-01-28 13:40

提问者网友：记得曾经
2021-01-28 09:45

最佳答案

五星知识达人网友：第四晚心情
2021-01-28 10:03

(x)=(2^x-1)/2
-1<1-2/(2^x+1)<1
值域为(-1：
设 x1 x2 且x1>x2
f(x1)-f(x2)
=2/2^x2
所以 f(x1)&gt,1)

增函数
证明;(2^x2+1)-2/(2^x1+1)
=2[2^x1-2^x2]/[(2^x1+1)(2^x2+1)]
因为2^x为增函数又 x1>x2
所以 2^x1>(2^x+1)
=1-2/(2^x+1)
因为2^x>0
所以 0<2/(2^x+1)&lt

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1楼网友：拾荒鲤
2021-01-28 10:42

首先，f(x)=2x-1/2x+1(我理解为f(x)=2x-(1/2x)+1)的定义域是(-∞，0)∪(0,+∞)，显然f(x)在其定义域上可导。其导函数f'(x)=2+1/(2x^2)，显然在上述定义域上恒大于0.故f(x)在其定义域上是严格单调递增的。当x→-∞时，f(x)→-∞，当x→0(从小于0的方向趋于0)时，f(x)→+∞，当x→0(从大于0的方向趋于0)时，f(x)→-∞，当x→+∞时，f(x)→+∞.故知f(x)的值域是(-∞，+∞).

注：由f(x)的连续性及其严格单调递性，可得f(x)在(-1,-1/2)以及(1/4,1/2)上各有一个使得f(x)=0的两个根，且仅有两个根。

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