求函数fx=ln(1 x)的n阶麦克考林公式

求函数fx=ln(1 x)的n阶麦克考林公式

两相除,再同时去以e为底指数,之后对e^x作麦克劳琳展开ln(1+x)/x=(1+x)/e^x=(1+x)/(1+x+x^2/2+x^3/6+.)<1 所以ln(1+x)<x, 在看左边： 在x=0时x/(1+x)=ln(1+x)=0; 当x>0时 对x/(1+x)和ln(1+x)分别求导数, [1/(1+x)]'=[(1+x)-x/(1+x)^2]=1/[(1+x)^2] [ln(1+x)]'=[1/(1+x)] 两导数作比：[1/(1+x)]'/[ln(1+x)]'=1/[(1+x)^2]/[1/(1+x)]=1/(1+x)<1 所以,在x>0时,x/(1+x)的增长速度小于ln(1+x),而在x=0出两者相等. 所以 x/(1+x)<ln(1+x) 证毕.

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