求所有正整数n,使得n(n+1)/2–3n为质数

求所有正整数n,使得n(n+1)/2–3n为质数

此处先声明，质数不考虑负数。如果需要考虑，请追问。

先因式分解。
n(n+1)/2-3n=n(n-5)/2
注意到，
n与n-5的奇偶性不同，因而它们之间必然有一个是2的倍数。
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分类讨论：
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设n=2k
那么n(n-5)/2=k(2k-5)
质数只有1以及本身作为因数，
那么k=1或2k-5=1
当k=1时，2k-5=-3（舍）
因而2k-5=1
k=3，于是n=6，此时n(n+1)/2–3n=3
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设n=2k+1
那么n(n-5)/2=(2k+1)(k-2)
质数只有1以及本身作为因数，
而k-2<2k+1
因而k-2=1时
k=3，于是n=7，此时n(n+1)/2–3n=7

综上，n=6或7。

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