设P(x)是一个3n次多项式

设P(x)是一个3n次多项式

我的解法比较长，有点复杂。可能比较笨，lz慎入
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先设P(x)-1=f(x),则f(0)=f(3)=.....=f(3n)=1,f(1)=f(4)=...=f(3n-2)=0,f(2)=f(5)=...=f(3n-1)=-1。并且f(3n+1)=729。在0,1,2,...,3n这3n+1个点上对f用拉格朗日插值公式，得f(x)=∑f(k)π(x-j)/(k-j)。令x=3n+1代入得f(3n+1)=∑f(k)π(3n+1-j)/(k-j)。不难将这个式子整理成为729=∑f(k)C(3n+1,k)(-1)^(n+k)。这里的求和指标都是从0到3n的
那么f(k)怎么处理？注意f(k)也可以用f(0)=1,f(1)=0,f(k+2)+f(k+1)+f(k)=0这个递推公式来确定，所以不难求得f(k)=i(w1^(k-1)-w2^(k-1))/根号3.其中w1=(-1+i*根号3)/2，w2=(-1-i*根号3)/2，w1+w2=-1,w1*w2=1.w1^3=w2^3=1.也就是单位根
将f(k)的这个表达式代入729=∑f(k)C(3n+1,k)(-1)^(n+k)之中，不难整理得729=i*[w1(w2-1)^(3n+1)-w2(w1-1)^(3n+1)]/根号3
再把w1-1=-i*w2*根号3，w2-1=i*w1*根号3代入上式,不难化简得到w2*(i*根号3)^(3n)+w1*(-i*根号3)^(3n)=-729
根据上式，分n奇偶两种情况讨论，不难得到n=4

设P(x)=P(3n)+P(3n-2)+P(3n-1)
因为P(3n),P(3n-2),P(3n-1)是一个循环函数，所以不管当n取什么整数时
P(x)=P(3n)+P(3n-2)+P(3n-1)=3就是一个确定的数。比如n=1时，P(x)=3，n=2时，P(x)=3，n=3时，P(x)=3。。。。。。
现在值等于730，除以3得243剩余一，可以知道这个一是P(3n-2)+P(3n-1)=1
就是说这个730是243个P(3n)+P(3n-2)+P(3n-1)=3和1个P(3n-2)+P(3n-1)=1组成。
因为P(3n+1)=730，为此当从P（1）加到P（729）时值为729，还缺一，根据题目，必须再加P(730)=1 或者(730) +P(731)=1.
题目中P(3n+1)=730，对照上面,3n+1=730或者731，但n是整数，所以只能是3n+1=730，即n=243

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