数学分析 数列 极限：若xn收敛，那么lim (x1+x2+...+xn)/n=lim xn，lim n次根号下(πxi)=lim xn

数学分析 数列 极限：若xn收敛，那么lim (x1+x2+...+xn)/n=lim xn，lim n次根号下(πxi)=lim xn

(1)
lim (x1+x2+...+xn)/n=lim xn
没什么好办法，只有用极限的定义了。
lim xn=a
设Sn=∑(1->n)xi
(x1+x2+x3+...+xn)/n=Sn/n=
=(Sm+Sn-Sm)/n=Sm/n+(Sn-Sm)/n
这么做的目的在于变化无限的部分为有限的部分加无限的部分
Sm/n+(Sn-Sm)/n=Sm/n +(x(m+1)+x(m+2)+...+xn)/n=
=Sm/n +(x(m+1)+x(m+2)+...+xn)/(n-m) * (1-m/n)
对于任意e>0,存在N使得对于n>N,有|xn-a|那么
(x1+x2+...+xn)/n=SN/n+(x(N+1)+x(N+2)+...+xn)/(n-N)*(1-N/n)
a-ea-e<(x(N+1)+x(N+2)+...+xn)/(n-N)设(x(N+1)+x(N+2)+...+xn)/(n-N)=a+e',|e'|(x1+x2+...+xn)/n=SN/n+(x(N+1)+x(N+2)+...+xn)/(n-N)*(1-N/n)=SN/n+(a+e')(1-N/n)
|(x1+x2+...+xn)/n-a|<=|SN/n|+|e'|+(|a|+|e'|)(N/n)
这时SN,e'a,N为定值
取N'>N使得，当n>N'时
|SN/n|那么|(x1+x2+...+xn)/n-a|<=|SN/n|+|e'|+(|a|+|e'|)(N/n)<3e
故lim (x1+x2+...+xn)/n=lim xn=a
注：仿照(1)有若xn->+∞，那么lim (x1+x2+...+xn)/n=+无穷大
(2)应该有xi>=0,
设lim xn=a
lim n次根号下(πxi)=lim xn
自然地两边取对数
1/n * ∑ln xi ->? ln(xn)
1.a>0
由(1)
lim 1/n * ∑ln xi = ln(a)
易知
lim n次根号下(πxi)=lim xn
2.a=0
由附注
lim 1/n * ∑-ln xi = -ln(a)=+∞
lim n次根号下(πxi)=e^(-1/n * ∑ -ln xi)= lim e^(-∞)=0=a
故lim n次根号下(πxi)=lim xn
看来楼主很用功，题目很像以前做的习题集。

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