已知函数f（x）=e^x/（xe^x+1）

当x>0时，不等式f（x）>1/（ax^2+1）恒成立，求a的取值范围

a<0时ax^2+1可以趋向于0+，命题不成立。
a=0时f(x)>1,与(1)矛盾。
∴a>0,于是ax^2+1>1/f(x)=(xe^x+1)/e^x=x+e^(-x),
a>[x-1+e^(-x)]/x^2,记为g(x),x>0.
g'(x)={[1-e^(-x)]x^2-2x[x-1+e^(-x)]}/x^4
=[x-xe^(-x)-2x+2-2e^(-x)]/x^3
=[2-x-(x+2)e^(-x)]/x^3,
设h(x)=2-x-(x+2)e^(-x),x>0,则
h'(x)=-1-(1-x-2)e^(-x)=-1+(x+1)e^(-x),
h''(x)=-xe^(-x)<0,
∴h'(x)是减函数，h'(x)<h'(0)=0,
∴h(x)是减函数，h(x)<h(0)=0,
∴g'(x)<0,g(x)是减函数，g(x)<g(0+)→[1-e^(-x)]/(2x)→e^(-x)/2→1/2，
∴a>=1/2,为所求.

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