已知偶函数f(x)在[0,+无穷]上是增函数，求不等式f(2x+1)<f(x-1)的解集

已知偶函数f(x)在[0,+无穷]上是增函数，求不等式f(2x+1)<f(x-1)的解集

给力知识点：若f(x)是偶函数，则f(x)=f(|x|).
由于f(x)是偶函数，所以不等式 f(2x+1)<f(x-1) 可化为
f(|2x+1|)<f(|x-1|)
又f(x)在[0,+∞)上是增函数，所以 |2x+1|<|x-1|
所以 4x² +4x+1<x²-2x+1
x²+2x<0
解得 -2<x<0
所以不等式f(2x+1)<f(x-1)的解集为｛x|-2<x<0}

因为f(x)在0到正无穷上是增函数，所以f(x)的导函数即x大于或等于0 ，假设t=x-1,则x=t+1（t>=-1) f(2x+1)<f(x-1)可以转化为f(2t+3)>f(t) 又t>=-1,所以2t+3>0,当t>=0时，即有f(2t+3)<f(t) 则2t+3<t t<-3,当-1<=t<0时，因为f（x）为偶函数f(x)=f（—x) 即f(2t+3)<f(-t) 所以2t+3<-t,t<-1 将t转换为x可得两个不等式 即x-1<-1或x-1<-3加上条件所给的x>=0 最后结果x的解集为空集 啊哈哈，又只有我的是正确的，快打赏吧！！！

解：偶函数f(x)在[0,+无穷]上是增函数，则它在[-无穷，0]上是减函数 （1）若2x+1>=0,x-1>=0,即x>=1时，f(2x+1)<f(x-1)，故2x+1<x-1,得x<-2,矛盾，不成立 （2）若2x+1<=0,x-1<=0,即x<=-1/2时，f(2x+1)<f(x-1)，故2x+1>x-1,得x>-2,综合得x解为（-2，-1/2] （3）若2x+1>=0,x-1<=0,即-1/2=<x<=1时，1-x>0,f(2x+1)<f(x-1)=f(1-x)，故2x+1<1-x,得x<0,综合得x解为[-1/2,0） (4）若2x+1<0,x-1>0,无解 故不等式f(2x+1)<f(x-1)的解集为（-2，-1/2]并[-1/2,0）=(-2,0)

∵f(x)是偶函数，且在[0,+∞)上为增函数

∴f(x)在(-∞，0]上是减函数，f(-1/3)=f(1/3)

①当2x-1≥0时，则原不等式等价于：

0≤2x-1＜1/3

则1/2≤x＜2/3

②当2x-1＜0时，原不等式等价于：

-1/3＜2x-1＜0

则1/3＜x＜1/2

综上，原不等式的解集为{x|1/3＜x＜2/3}

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