设f(x)在x=x0的邻近有连续的二阶导数,证明;limh→0f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)/h²

设f(x)在x=x0的邻近有连续的二阶导数,证明;limh→0f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)/h²=f″(x0).
不要用洛必达法则.

用微分公式,其中的有限增量公式,由于f（x）在x0邻域二阶可导,必定一阶可导,因此有f（x0+h）-f（x0）=f'(x0)h+o(h).同理f（x0）-f（x0-h）=f'(x0)h+o(h).因此f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)/h²={[f（x0+h）-f（x0）]/h+[f（x0）-f（x0-h）]/h}/h,代入上式并取极限,即可证明

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