可导与一致连续

设f 在[a,+∞)上可导，且f ’（x）当x→+∞时极限存在，
证明 f 在[a,+∞)上一致连续

f ’（x）当x→+∞时极限存在 ===》 存在 A 和x0>a 使得 当 x > x0 时， |f'(x)-A| < 1. ===> -|A|- 1 < f'(x) < |A| + 1

于是 任给 e>0,
因为f(x) 在闭区间[a, x0 + 1]连续，必然在闭区间[a, x0 + 1]上一致连续，所以存在 d1 > 0 使得 任给 a <= x1 < x2 <= x0 + 1, 如果 x2-x1 < d1, 则|f(x2)-f(x1)|
而任取 x0 < x1 < x2， 如果 x2 - x1 < e/(|A|+1), 则
|f(x2)-f(x1)| = |f'(t)||x2-x1| ----- 罗必达法则， x1 < （|A| + 1）*e/(|A|+1) = e

于是， 取 d = min{d1, 1, e/(|A|+1)}, 则 任给 a<= x1 所以 f 在[a,+∞)上一致连续

这问题问得好，可以看出你确实是在认真思考了。 1，极限值一定等于该函数等于x0时的数值，例如一个分段函数f(x)=x x≠1时 =2 x=1时 这样一个函数在x=1点的左右极限都存在且都等于1，但是在在x=1点的函数值f(1)=2却不等于极限值，因此f(x)在x=1点不连续，x=1这个点即为所谓的可去间断点，可通过补充定义f(1)=1而使f(x)在x=1点连续，因此叫可去间断点。 2，可导是连续的真子集这种说法倒是头一次听说，不过想想也没错。连续只能保证f(x)在某点的左右极限相等并等于该点函数值，但不能保证导函数f'(x)在该点的左右极限相等，而后者才是可导的要求，例如f(x)=x的绝对值在x=0处连续但不可导。

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