设定义在R上的函数f（x）存在反函数，且对于任意x∈R恒有f（x+1）+f（-x-4）=2，则f-1（2011-x）+f-1（x-2009）=________．
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解决时间 2021-02-20 06:42
- 提问者网友：喧嚣尘世
- 2021-02-19 23:06
设定义在R上的函数f（x）存在反函数，且对于任意x∈R恒有f（x+1）+f（-x-4）=2，则f-1（2011-x）+f-1（x-2009）=________．
最佳答案
- 五星知识达人网友：duile
- 2019-10-06 05:12
-3解析分析：由换元得f（t）+f（-t-3）=2，注意（2011-x ）与?（x-2009 ）的和等于2，若（2011-x ）与?（x-2009 ）一个是t，则另一个是-t-3，再应用反函数的定义解出 t 和-t-3．解答：∵f（x+1）+f（-x-4）=2，∴f（t）+f（-t-3）=2，
令 2011-x=m，x-2009=n，∴m+n=2，
∴可令?f（t）=m，f（-t-3）=n，由反函数的定义知，
∴t=f-1（m），-t-3=f-1（n）
∴f′（m）+f′（n）=-3，
即：f-1（2011-x）+f-1（x-2009）的值是-3，
故
令 2011-x=m，x-2009=n，∴m+n=2，
∴可令?f（t）=m，f（-t-3）=n，由反函数的定义知，
∴t=f-1（m），-t-3=f-1（n）
∴f′（m）+f′（n）=-3，
即：f-1（2011-x）+f-1（x-2009）的值是-3，
故
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- 1楼网友：北方的南先生
- 2019-08-17 01:36
感谢回答，我学习了
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