已知向量a=(1+cosα,sinα),b=(1-cosβ,sinβ),c=(1,0),α∈(0,π)β∈(π,2π),向量a与c的夹角为θ1，向量b与c的夹角为θ2，且θ1-θ2=π/6，求α-β的

已知向量a=(1+cosα,sinα),b=(1-cosβ,sinβ),c=(1,0),α∈(0,π)β∈(π,2π),向量a与c的夹角为θ1，向量b与c的夹角为θ2，且θ1-θ2=π/6，求α-β的值

因为a∈（0，π），β∈(π，2π）
所以sina>0,sinβ<0,又1+cosα>0,1-cosβ>0,所以tanθ1=sinα/(1+cosα)
=2sin(α/2)cos(α/2)÷{1+[cos(α/2)]^2-[sin(α/2)]^2}
=2sin(α/2)cos(α/2)÷{2[cos(α/2)]^2}
=sin(α/2)/cos(α/2)
=tan(α/2)
tan(θ2)=-sinβ/(1-cosβ)
=-2sin(β/2)cos(β/2)÷{1-[cos(β/2)]^2+[sin(β/2)]^2}
=-2sin(β/2)cos(β/2)÷{2[sin(β/2)]^2}
=-cos(β/2)/sin(β/2)
=-cot(β/2)
又θ1-θ2=π/6,所以有tan(θ1-θ2)=tanπ/6=(√3)/3
而tan(θ1-θ2)=(tanθ1-tanθ2)/(1+tanθ1tanθ2)
={tan(α/2)-[-cot(β/2)]}/[1-tan(α/2)cot(β/2)]
=[sin(α/2)sin(β/2)+cos(β/2)cos(α/2)]/[sin(β/2)cos(α/2)-sin(α/2)cos(β/2)]
=cos[(α-β)/2]/sin[(β-α)/2]
=-cot[(α-β)/2]
所以cot[(α-β)/2]=-(√3)/3
所以tan[(α-β)/2]=-√3

那么(α-β)/2=-60°

α-β=-120°

求什么都可以了

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