对称半正定矩阵一定可以特征值分解吗?

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解决时间 2021-02-28 08:40

提问者网友：雪舞兮
2021-02-27 13:20

对称半正定矩阵一定可以特征值分解吗?
假设A是对称半正定矩阵,那么A一定可以分解为A=SD(ST)的形式吗?
其中S是正交矩阵,D为对角阵,ST是S的转置
一些方阵是无法特征值分解的,因为某个特征值对应特征向量的个数小于其在行列式中的幂
有什么性质使得对称半正定矩阵的特征值必然对应足够的特征向量呢?
简略证明之.
实际上也就是请证明这个定理:
设A为n阶对称矩阵，x为A特征方程的r重根，那么矩阵A-x*I的秩为n-r

最佳答案

五星知识达人网友：猎心人
2021-02-27 13:54

只要是对称矩阵就能特征值分解.线性代数书上都会讲这个结论.如果A是半正定阵的话,那么D的对角元一定是非负数.如果手头有线性代数的书可以翻看一下,一定会有一章讲对称阵的正交对角化问题的.

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