已知:如图,正方形ABCD的边长为1,点p是它的对角线AC上的一个动点,过点p作PQ⊥PB交射线DC于点Q,设AP=x

已知:如图,正方形ABCD的边长为1,点p是它的对角线AC上的一个动点,过点p作PQ⊥PB交射线DC于点Q,设AP=x
（1）如图①,当点Q在边DC上时,求证：PB=PQ;
（2）如图①,当点Q在边DC上时,设四边形PBCQ的面积为y,求y与x之间的函数关系式,并写出函数的定义域；
（3）当点P在线段AC上运动时,△PCQ是否可能成为等腰三角形?若能,请直接写出x的值,如果不可能,请说明理由

(1)连接DP,易知BP=DP
又∠PQD=∠QPC+∠PCQ=90°-∠BPC+45°
=135°-∠BPC=180°-∠BCP-∠BPC
=∠PBC=∠PDC,∴PD=PQ
即PB=PQ
(2)作PE⊥DC于E,则AP=√2DE
即DQ=2DE=√2AP=√2x,
∴CQ=1-√2x,PE=AD-DE=1-√2x/2
∴四边形PBCQ的面积
y=S△BPC+S△PCQ
=S△PDC+S△PCQ
=DC*PE/2+CQ*PE/2
=(2-√2x)(1-√2x/2)/2
=x²/2-√2x+1
∵Q在边DC上,∴0≤CQ≤1
即0≤1-√2x≤1 =>定义域为 0≤x≤√2/2
(3)∵∠PQC=∠PDQ+∠DPQ≥∠PQD
∴∠PQC≥90°,即△PCQ若为等腰△
只能是PQ=QC
而PQ²=DE²+PE²=x²/2+1-√2x+x²/2=x²-√2x+1
∴x²-√2x+1=QC²=1-2√2x+2x²
得x²-√2x=0 => x=0或√2
∵0≤x≤√2/2,所以当x=0时,△PQC为等腰△
再问： 作PE⊥DC于E，则AP=√2DE 为什么？
再答： 作PF⊥AD，不就有PFDE时矩形吗， 所以AP=√2PF=√2DE
再问： 根号2是怎么算出来的
再答： △APF是等腰直角△，AF=PF AF²+PF²=AP²，即2PF²=AP² ∴AP=√2PF

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