求fx=x+√2x-1的值域

求fx=x+√2x-1的值域

解：f(x)=x+(2x-1)^1/2的值域
求知欲先求定义域
定义域：看作g(x)=x和h(x)=（2x-1)^1/2的和函数，
因为定义域要使g(x)和f(x)都有意义
所以是g(x)和h(x)定义域的交集，
二者的交集同时满足g(x)的定义域和h（x)的定义域，使二者都有意义，则f(x)有意义
x:R
2x-1>=0
2x>=1
x>=1/2
[1/2,+无穷）交R
[1/2,+无穷）真包含于R,是R的真子集，真子集的条件比子集强，是子集（条件强的可以推出条件次强的，即条件强的能推出条件比它弱的条件）
所以交集为[1/2,+无穷）
换元法：令t=(2x-1)^1/2,t>=0
t^2=2x-1
t^2+1=2x
(t^2+1)/2=x
x=1/2t^2+1/2
f(t)=1/2t^2+1/2+t
=1/2t^2+t+1/2
=1/2(t^2+2t+1)
=1/2[(t+1)]^2
=1/2(t+1)^2
a=1/2>0,开口向上，有最小值
t=-1,fmin=0
-1不属于[0,+无穷）
所以fmin=0取不到
数形结合
画出这条抛物线，
对称轴为t=-1,开口向上
在（-无穷，-1）上单调递减，在（-1，+无穷）上单调递增
[0,+无穷）真包含于（-1，+无穷），范围比（-1，+无穷）小，是它的子区间
所以在[0,+无穷）上是单调递增的
t=0,fmin=1/2，（2x-1)^1/2=0,2x-1=0,2x=1,x=1/2属于[1/2,+无穷）
t趋向于+无穷，1/2t^2+t+1/2=1/2t^2(1+2/t+1/t^2)=1/2t^2[1+2/t+(1/t)^2]
2/t趋向于0，（1/t)趋向于0，（1/t)^2趋向于0，则右边因子趋向于1，则极限值为1/2t^2(t趋向于无穷）
因为1/2t^2在（0，+无穷）上单调递增，x=t,对应的图像上的点P是（t，1/2t^2),当t趋向于无穷大时，即P点投影在x轴上的投影点沿x轴正向无限运动，则对应的P沿曲线向上无限运动，则P点投影正在y轴上的投影点沿y轴正向无限运动，即纵坐标y趋向于+无穷
f(x)的值域=[1/2,+无穷）

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