解答题过x轴上动点A（a，0）引抛物线y=x2+1的两条切线AP、AQ，P、Q为切点，

解答题 过x轴上动点A（a，0）引抛物线y=x2+1的两条切线AP、AQ，P、Q为切点，设切线AP、AQ的斜率分别为k1和k2．
（Ⅰ）求证：k1k2=-4；
（Ⅱ）求证：直线PQ恒过定点，并求出此定点坐标．

证明：（Ⅰ）设过A（a，0）与抛物线y=x2+1的相切的直线的斜率是k，
则该切线的方程为：y=k（x-a），代入抛物线，消去y可得x2-kx+（ka+1）=0
∴△=k2-4（ka+1）=k2-4ak-4=0
∴k1，k2都是方程k2-4ak-4=0的解，∴k1k2=-4
（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）
由于y'=2x，故切线AP的方程是：y-y1=2x1（x-x1）
则-y1=2x1（a-x1）=2x1a-2x12=2x1a-2（y1-1），∴y1=2x1a+2，
同理y2=2x2a+2
∴直线PQ的方程是y=2ax+2，
∴直线PQ过定点（0，2）．解析分析：（Ⅰ）设出切线的方程代入抛物线，消去y可得x2-kx+（ka+1）=0，利用判别式等于0，即可证得结论；（Ⅱ）确定切线AP、AQ的方程，从而可得直线PQ的方程，即可得到直线PQ过定点．点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．注意设而不求方法的运用．

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