二次函数y=x^2+2x-2007与x轴两交点间的距离

二次函数y=x^2+2x-2007与x轴两交点间的距离

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x1+x2=-2，x1²+2x1x2+x2²=4
x1x2=-2007，4x1x2=-8028
x1²-2x1x2+x2²=4-(-8028)=4+8028=8032
(x1-x2)²=8032
|x1-x2|=√8032=4√502
两交点间的距离为4√502

设方程x²+2x-2007=0的两根为x₁，x₂，则
x₁+x₂=-2，x₁x₂=-2007。二次函数图像与x轴两个交点的距离为d，则，
d²=|x₁－x₂|²=(x₁+x₂)²-4x₁x₂=(-2)²-4×(-2007)
=8032，所以d=4√502。

解法1：
已知：y=x²+2x-2007
设其与x轴交点分别为x1和x2，
由韦达定理：(x1)+(x2)=-2、(x1)·(x2)=-2007
有：[(x1)-(x2)]²=[(x1)+(x2)]²-4(x1)·(x2)=(-2)²-4·(-2007)=8032
所以：|(x1)-(x2)|=√8032=4√502
即：所求两交点间的距离为4√502。
解法2：
已知：y=x²+2x-2007
有：y=(x+1)²-2008
令y=0，有：0=(x+1)²-2008，
两交点分别为：-1±√2008=-1±2√502
两交点距离为：|(-1+2√502)-(-1-2√502)|=4√502
即：所求两交点间的距离为4√502。

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