1/a的导函数是？（a＞0）
- 提问者网友：缘字诀
- 2021-01-30 22:06
- 五星知识达人网友：平生事
- 2021-01-30 22:55
- 1楼网友：躲不过心动
- 2021-01-30 23:47
解：由已知，函数f(x) = (a – 1)(ax – a-x)，（a > 0而且a ≠ 0），对a的值分类讨论可得：
1）如果a = 1，那么f(x) = 0，此时函数f(x)是常值函数，不符题意，舍去；
2）如果a > 1，那么a – 1 > 0，求导可得f ’(x) = (a – 1)*[axlna – (a-xlna)(-1)] = (a – 1)(ax – a-x)lna，f(x)在r上是增函数，说明任取x∈r，恒有f ’(x) = (a – 1)(ax – a-x)lna > 0，因为指数函数g(x) = ax（a > 1）在r上单调递增，当x > 0时，x > -x，那么有ax > a-x ，故ax – a-x > 0，而a – 1 > 0，lna > 0，所以f ’(x) = (a – 1)(ax – a-x)lna > 0；但是当x < 0时，x < -x，那么有ax < a-x ，故ax – a-x < 0，而a – 1 > 0，lna > 0，所以f ’(x) = (a – 1)(ax – a-x)lna < 0；
综上所述，函数f(x)在(0，+∞)上单调递增，在(-∞，0)上单调递减，不符题意，舍去；
3）如果0 < a < 1，那么a – 1 < 0，求导可得f ’(x) = (a – 1)*[axlna – (a-xlna)(-1)] = (a – 1)(ax – a-x)lna，f(x)在r上是增函数，说明任取x∈r，恒有f ’(x) = (a – 1)(ax – a-x)lna > 0，因为指数函数g(x) = ax（0 < a < 1）在r上单调递减，当x > 0时，x > -x，那么有ax < a-x ，故ax – a-x < 0，而a – 1 < 0，lna < 0，所以f ’(x) = (a – 1)(ax – a-x)lna < 0；当x < 0时，x < -x，那么有ax > a-x ，故ax – a-x > 0，而a – 1 < 0，lna < 0，所以f ’(x) = (a – 1)(ax – a-x)lna > 0；
综上所述，函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，在(-∞，0)上单调递增，不符题意，舍去；
综上所述，始终不存在符合题意的a使得函数f(x)在r上单调递增，所以所求的a∈φ（空集）。