设f（x）=3ax^2+2bx+c，若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0

设f（x）=3ax^2+2bx+c，若a+b+c=0，f（0）>0,f（1）＞0，求证:
（Ⅰ）a>0且-2<b/a<-1
（II）方程f（x）=0在(0,1)内有两个实根；

1)
f(0)=c>0,f(1)=3a+2b+c>0
a+(2a+2b+2c)-c>0
a-c>0,a>c>0
b<0
b=-a-c>-2a,b/a>-2
b=-a-c<-a+0=-a,b/a<-1
-2<b/a<-1
a>0且-2<b/a<-1
2)
3ax^2+2bx+c=0
a>0,开口向上
假设两个根x1,x2,x1<x2
x1x2=c/3a>0,x1+x2=-2b/3a>0
所以：0<x1<x2

x1+x2=2(a+c)/3a<2(a+a)/3a=4/3
x1<2/3,x1-1<0
(x1-1)(x2-1)
=c/3a+2b/3a+1
=c/3a+2(-a-c)/3a+1
=1/3-c/3a>1/3-1/3>0
所以：x2-1<0
所以：
方程f（x）=0在(0,1)内有两个实根；

（1）a = 0，则b = –c，f (0)·f (1) =c·(2b + c)= –c²≤ 0与f (0)·f (1)＞0矛盾，故a≠0.

又3ax² +2bx +c =0的△=4b²– 12ac =4(b²–3ac)=4[(a + c)²–3ac]=4[(c–a/2)²+ ]＞0

故f (x) =0有两不等实根.

第(2)(3)问请稍候~

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