数学证明题目

求证：1+1/2^2+1/3^2+…+1/n^2<2

(用数学归纳法)

证明：

要证1+1/2^2+1/3^2+···+1/n^2＜2，只需证1+1/2^2+1/3^2+···+1/n^2＜2-(1/n)即可

① 当n=2时，1+1/2^2＜2-1/2，不等式成立

② 假设当n=k时，不等式1+1/2^2+1/3^2+···+1/k^2＜2-1/k成立，那么：

当n=k+1时，有：

1+1/2^2+1/3^2+···+1/k^2+1/(k+1)^2＜2-1/k+1/(k+1)^2=2-(k^2+k+1)/k(k+1)^2＜2-k(k+1)/k(k+1)^2=2-1/(k+1)

∴不等式仍成立

证明：

∵1/(n^2)＜1/(n-1)n=1/(n-1) -1/n

当n≥2时，有：

1/2^2 +1/3^2 + ···+ 1/n^2=1-1/2+1/2-1/3+···+1/(n-1)-1/n=1-(1/n)

∴1+1/2^2+1/3^2+···+1/n^2=1+1-(1/n)=2-(1/n)＜2

∴1+1/2^2+1/3^2+···+1/n^2＜2

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