数学:求∑(∞,n=1)n(n+1)/2^n 的和.

答案:3 悬赏:80 手机版

解决时间 2021-01-04 18:45

提问者网友：嗝是迷路的屁
2021-01-03 20:39

最佳答案

五星知识达人网友：枭雄戏美人
2021-01-10 03:22

^考虑幂级来数∑(∞,n=1)n(n+1)x^n,
它的自收敛区间为(-1,1),
设其和2113函数为S(x),
则5261S(x)=∑4102(∞1653,n=1)n(n+1)x^n
=x(∑(∞,n=1)x^(n+1))′
=x(x²/(1-x))″
=2x/(1-x)³.
故
∑(∞,n=1) n(n+1)/2^n
=S(1/2)
=(2*1/2)/(1-1/2)³
=8.

全部回答

1楼网友：不如潦草
2021-01-10 04:45

做个提示： σ（-1)^n(1/2)^n(n²-n+1) =σ(-1/2)^n(n²-n+1) =σ(n²-n)(-1/2)^n+σ(-1/2)^n 第2个可以直接求出级数σx^n=f(x) f(x)与n从0,1开始有关，题目没告知。求导： σnx^(n-1)=f'(x) 再求导：σn(n-1)x^(n-2)=f''(x) x=-1/2代入即可

2楼网友：一秋
2021-01-10 04:02

∑(∞,n=1)n(n+1)/2^n consider 1/(1-x) = 1+x+x^2+.... 1/(1-x)^2 = 1+2x+3x^2+... (两边取导32313133353236313431303231363533e58685e5aeb931333363393064) x/(1-x)^2 = x + 2x^2+3x^3+.... x=1/2 ∑(∞,n=1)n/2^n = 2 ------------------------------ x/(1-x)^2 = x + 2x^2+3x^3+.... [(1-x)^2 + 2x(1-x) ]/(1-x)^4 = 1+ 2^2.x +3^2.x^2 +.... (两边取导) (-x^2+1)/(1-x)^4 = 1+ 2^2.x +3^2.x^2 +.... x(-x^2+1)/(1-x)^4 = 1^2.x+ 2^2.x^2 +3^2.x^3 +.... x=1/2 ∑(∞,n=1)n^2/2^n = (1/2) ( -1/4 +1)/( 1/2)^4 = 6 ---------- ∑(∞,n=1)n(n+1)/2^n =∑(∞,n=1)n^2/2^n +∑(∞,n=1)n/2^n =6+2 =8

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