证明∫sinx/sinx+cosxdx=∫cosx/sinx+cosxdx=π/4 ，积分上限是π/2，下限是0
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解决时间 2021-11-24 23:04
- 提问者网友：凉末
- 2021-11-24 13:38
证明∫sinx/sinx+cosxdx=∫cosx/sinx+cosxdx=π/4 ，积分上限是π/2，下限是0
最佳答案
- 五星知识达人网友：玩家
- 2021-11-24 13:44
追问
追答相等的，在定积分中只要积分限不变的话，变量可随意更换
全部回答
- 1楼网友：渡鹤影
- 2021-11-24 14:39
换元法令t=（π/2） -x，那么x=（π/2）-t，dx=-dt，积分限t上限是0，下限是（π/2）
∫[0，π/2] [sinx/（sinx+cosx）]dx=
∫[π/2，0] sin（（π/2）-t）/（sin（（π/2）-t）+cos（（π/2）-t））d（（π/2）-t）
=∫[π/2，0] -sint/（cost+sint）dt
=∫[0，π/2] cost/sint+cost dt
=∫[0，π/2] cosx/（sinx+cosx） dx
又因为∫[0，π/2] [sinx/（sinx+cosx）]dx+∫[0，π/2] cosx/（sinx+cosx） dx
=∫[0，π/2] 1 ×dx
=π/2
所以
∫[0，π/2] sinx/（sinx+cosx）dx=∫cosx/（sinx+cosx）dx=π/4
∫[0，π/2] [sinx/（sinx+cosx）]dx=
∫[π/2，0] sin（（π/2）-t）/（sin（（π/2）-t）+cos（（π/2）-t））d（（π/2）-t）
=∫[π/2，0] -sint/（cost+sint）dt
=∫[0，π/2] cost/sint+cost dt
=∫[0，π/2] cosx/（sinx+cosx） dx
又因为∫[0，π/2] [sinx/（sinx+cosx）]dx+∫[0，π/2] cosx/（sinx+cosx） dx
=∫[0，π/2] 1 ×dx
=π/2
所以
∫[0，π/2] sinx/（sinx+cosx）dx=∫cosx/（sinx+cosx）dx=π/4
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