已知函数f（x）=ln（ex+1）-ax（a＞0）．

已知函数f（x）=ln（e^x+1）-ax（a＞0）．
（1）若函数y=f（x）的导函数是奇函数，求y=f′（x）的值域；
（2）求函数y=f（x）的单调区间．

（1）由已知得f′(x)＝
ex
ex+1?a．
∵函数y=f（x）的导函数是奇函数．
∴f′（-x）=-f′（x），解得a＝
1
2．故f′(x)＝
ex+1?1
ex+1?
1
2，f′(x)＝
1
2?
1
ex+1，所以f′(x)∈(?
1
2，
1
2)
（2）由（1）f′(x)＝
ex
ex+1?a＝1?
1
ex+1?a．
当a≥1时，f′（x）＜0恒成立，
∴当a≥1时，函数y=f（x）在R上单调递减；
当0＜a＜1时，由f′（x）＞0得（1-a）（e^x+1）＞1，即ex＞?1+
1
1?a，x＞ln
a
1?a，
∴当0＜a＜1时，y＝f(x)在(ln
a
1?a，+∞)内单调递增，
在(?∞，ln
a
1?a)内单调递减．
故当a≥1时，函数y=f（x）在R上单调递减；
当0＜a＜1时，y＝f(x)在(ln
a
1?a，+∞)内单调递增；在(?∞，ln
a
1?a)内单调递减．

试题解析：

（1）由已知中函数f（x）=ln（e^x+1）-ax我们易求出函数导函数的解析式，根据函数y=f（x）的导函数是奇函数，求出a值后，结合指数函数的性质，即可得到y=f′（x）的值域；
（2）由已知中函数f（x）=ln（e^x+1）-ax我们易求出函数导函数的解析式（含参数a），分a≥1，0＜a＜1两种情况进行分类讨论，即可得到函数y=f（x）的单调区间．

名师点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的值域．
考点点评： 本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，函数的值域，其中（1）的关键是根据函数的奇偶性的性质，求出参数a的值，（2）的关键是对参数a进行分类讨论．

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