设数列{an}满足a1=√a（a>0），an+1=1/2(an+a/an)，证明数列{an}收敛并求liman

设数列{an}满足a1=√a（a>0），an+1=1/2(an+a/an)，证明数列{an}收敛并求liman

...由a1=√a可得a2=1/2（√a+a/√a）=√a，an=√a

（1）若a=0时，a1=2，an+1＝ an ， ∴an+12＝an且an＞0． 两边取对数，得2lgan+1=lgan， ∵lga1=lg2， ∴数列{lgan}是以lg2为首项， 1 2 为公比的等比数列， ∴lgan=( 1 2 )n?1lg2，即an=221?n； （2）由an+1＝ an+a ，得an+12＝an+a，① 当n≥2时， a 2 n =an-1+a，② ①-②，得（an+1+an）（an+1-an）=an-an-1， 由已知可得an＞0，∴an+1-an与an-an-1同号， ∵a2= 2a+2 ，且a＞0，∴ a 2 1 - a 2 2 =（a+2）2-（2a+2）=a2+2a+2＞0恒成立， ∴a2-a1＜0，则an+1-an＜0． ∵bn=|an+1-an|，∴bn=-（an+1-an）， ∴sn=-[（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an+1-an）]=-（an+1-a1）=a1-an+1＜a1．

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