怎样判断线性还是非线性微分方程？

怎样学好常微分方程？

对于一阶微分方程,形如:
y'+p(x)y+q(x)=0的称为"线性"
例如:
y'=sin(x)y是线性的
但y'=y^2不是线性的



扩展资料
所谓的线性微分方程，其中：
A、只能出现函数本身，以及函数的任何阶次的导函数；
B、函数本身跟所有的导函数之间除了加减之外，不可以有任何运算；
C、函数本身跟本身、各阶导函数本身跟本身，都不可以有任何加减之外的运算；
D、不允许对函数本身、各阶导函数做任何形式的复合运算。

线性微分方程是指关于未知函数及其各阶导数都是一次方，否则称其为非线性微分方程。 数学上，一个线性函数（映射） 拥有以下两个性质： 叠加性： 齐次： 在α是有理数的情况下，一个可叠加函数必定是齐次函数（在讨论线性与否时，齐次函数专指一次齐次函数）；若 是连续函数，则只要α是任意实数，就可以从叠加性推出齐次。然而在推广至任意复数α时，叠加性便再也无法导出齐次了。也就是说，在复数的世界里存在一种反线性映射，它满足叠加性，但却非齐次。叠加性和齐次这两个条件常会被合并在一起，称之为叠加原理： 对于一个表示为 的方程，如果是一个线性映射，则称为线性方程，反之则称为非线性方程。另外，如果 ，则称此方程齐次（齐次在函数和方程上的定义不同，齐次方程指方程内没有和x无关的项C，即任何项皆和x有关）。 扩展资料： 常微分方程的定义： 定义1：凡含有参数，未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程，称为微分方程，有时简称为方程，未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称作偏微分方程。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶。定义式如下： 　 定义2：任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数，都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同，且任意常数之间不能合并，则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解，称为方程的特解。 一般地说，n 阶微分方程的解含有 n个任意常数。也就是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的阶数相同，这种解叫做微分方程的通解。通解构成一个函数族。 如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来，那么求这种解的问题叫做定解问题，对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解。对于高阶微分方程可以引入新的未知函数，把它化为多个一阶微分方程组。

对于一阶微分方程,形如: y'+p(x)y+q(x)=0的称为"线性" 例如: y'=sin(x)y是线性的 但y'=y^2不是线性的 注意两点: (1)y'前的系数不能含y,但可以含x,如: y*y'=2 不是线性的 x*y'=2 是线性的 (2)y前的系数也不能含y,但可以含x,如: y'=sin(x)y 是线性的 y'=sin(y)y 是非线性的 (3)整个方程中,只能出现y和y',不能出现sin(y),y^2,y^3等等,如: y'=y 是线性的 y'=y^2 是非线性的 扩展资料： 线性方程：在代数方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。 微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。 如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。 线性微分方程的一般形式是： 其中D是微分算子d/dx（也就是Dy = y'，D2y = y"，……），  是给定的函数。这个微分方程是n阶的，因为方程中含有y的n阶导数，而不含n+1阶导数。 如果ƒ = 0，那么方程便称为齐次线性微分方程，它的解称为补函数。这是一种很重要的方程，因为在解非齐次方程时，把对应的齐次方程的补函数加上非齐次方程本身的一个特解，便可以得到非齐次方程的另外一个解。如果是常数，那么方程便称为常系数线性微分方程。

区别线性微分方程和非线性微分方程如下： 1.微分方程中的线性，指的是y及其导数y'都是一次方。如y'=2xy。 2.非线性，就是除了线性的。如y'=2xy^2。 所谓的线性微分方程 linear differential differentiation，其中 A、只能出现函数本身，以及函数的任何阶次的导函数； B、函数本身跟所有的导函数之间除了加减之外，不可以有任何运算； C、函数本身跟本身、各阶导函数本身跟本身，都不可以有任何加减之外的运算； D、不允许对函数本身、各阶导函数做任何形式的复合运算。 扩展资料 微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。 微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。 参考资料：搜狗百科-微分方程

对于一阶微分方程,形如: y'+p(x)y+q(x)=0的称为"线性" 例如: y'=sin(x)y是线性的 但y'=y^2不是线性的 注意两点: (1)y'前的系数不能含y,但可以含x,如: y*y'=2 不是线性的 x*y'=2 是线性的 (2)y前的系数也不能含y,但可以含x,如: y'=sin(x)y 是线性的 y'=sin(y)y 是非线性的 (3)整个方程中,只能出现y和y',不能出现sin(y),y^2,y^3等等,如: y'=y 是线性的y'=y^2 是非线性的 扩展资料： 简单来讲，线性微分方程是指关于未知函数及其各阶导数都是一次方，否则称其为非线性微分方程。 线性方程：在代数方程中,仅含未知数的一次幂的方程称为线性方程。这种方程的函数图象为一条直线，所以称为线性方程。可以理解为：即方程的最高次项是一次的，允许有0次项，但不能超过一次。比如ax+by+c=0，此处c为关于x或y的0次项。 微分方程：含有自变量、未知函数和未知函数的导数的方程称为微分方程。 如果一个微分方程中仅含有未知函数及其各阶导数作为整体的一次幂,则称它为线性微分方程。可以理解为此微分方程中的未知函数y是不超过一次的，且此方程中y的各阶导数也应该是不超过一次的。 线性方程也称一次方程式。指未知数都是一次的方程。其一般的形式是ax+by+...+cz+d=0。线性方程的本质是等式两边乘以任何相同的非零数，方程的本质都不受影响。 因为在笛卡尔坐标系上任何一个一次方程的表示都是一条直线。组成一次方程的每个项必须是常数或者是一个常数和一个变量的乘积。且方程中必须包含一个变量，因为如果没有变量只有常数的式子是代数式而非方程式。 形为 ax+by+...+cz+d=0 ，关于x、y的线性方程，是指经过整理后能变形为ax+by+c=0的方程（其中a、b、c为已知数，a、b不同时为0）。一元线性方程是最简单的方程，其形式为ax=b。因为把一次方程在坐标系中表示出来的图形是一条直线，故称其为线性方程。 微分方程指含有未知函数及其导数的关系式。解微分方程就是找出未知函数。 微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。 微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。 数学领域对微分方程的研究着重在几个不同的面向，但大多数都是关心微分方程的解。只有少数简单的微分方程可以求得解析解。不 过即使没有找到其解析解，仍然可以确认其解的部分性质。在无法求得解析解时，可以利用数值分析的方式，利用电脑来找到其数值解。 动力系统理论强调对于微分方程系统的量化分析，而许多数值方法可以计算微分方程的数值解，且有一定的准确度。 微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。 常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。 若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。 偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。 参考资料：百度百科-线性微分方程

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