函数问题 要过程

已知函数F(X)=1/3X的3次方-X的平方-3X+4/3,直线l：9x+2y+c=0.

（1）求证：直线l与函数y=f(x)的图像下相切。

（2）若当x属于[-2，2]时，函数y=f(x)的图像在直线l的下方，求c的范围。

（1）证明：函数y=f(x)=(1/3)x^3-x^2-3x+4/3上的不垂直与x轴的切线斜率为y'=x^2-2x-3

直线9x+2y+c=0的斜率为-9/2

令x^2-2x-3=-9/2，即x^2-2x+3/2=0，此二次方程判别式b^2-4ab=4-6=-2<0，故无解

因此，函数y=f(x)不可能与直线9x+2y+c=0相切

（2）函数f(x)在直线y=(-9/2)x-c下方，则有

(1/3)x^3-x^2-3x+4/3<(-9/2)x-c

整理得2x^3-6x^2+9x+8-6c<0

令g(x)=2x^3-6x^2+9x

则g'(x)=6x^2-12x+9=6[(x-1)^2+1/2]>0，即g(x)单调递增

由于x属于[-2，2]，所以g(x)的最小值为g(-2)=-58，最大值为g(2)=10

由-50+8-6c<0得出c>25/3；由10+8-6c<0得出c>3

所以c的取值范围为(25/3,+∞)

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